iPhoneとのセッションを開始できなかった...

iPhoneとのセッションを開始できなかったため、iPhone"xxxのiPhone"のバックアップを作成できませんでした。
iPhoneを取り外して再接続してから、やり直してください。

検索すると、結構な頻度でこのアラートを目にしている人がいるようです。

原因はかなり多岐に渡るようですが、もっとも簡単に回復するパターンは
・ iPhoneの電源を入れなおす or 再接続
・ iTunesの再起動
あたりですが、それくらいは誰しも試すところでしょう。
それで片付かない場合は、おそらくAppleのこちら(iOS：iTunes のバックアップに関する問題のトラブルシューティング)を一度訪れるのが良いでしょう。

しかし、公式サイトのトラブルシュートはとても面倒なステップを踏むことになるので、今まで使えていたのになぜ今ダメになるの?という人からすると、全部はやってられなくて思い当るところだけ試してしまいそうです。

私の場合、あるiTunesアップデート時からアラートが出るようになってしまった、と思っていたため、公式サイトの手順を途中すっ飛ばして最後まで行ったものの原因がつかめませんでした。

公式サイトの最後の手段で、別のPCではバックアップができる、ということを確認すると、問題はiPhoneではないことになります。
悩んでいろんなサイトを見て回ると、USBカードの増設で回避できた、という人も。
これは公式サイトにはない解法なので、試してみました。
しかし、手持ちの新品増設カードは接続そのものが不安定で、そもそもうまく接続できませんでした。
(後日、これは増設基板の問題...パターン切れ、が原因であることを発見。)

仕方なく、USBコネクタを差す場所を変えたりしているうちに、あるデバイスのLEDが不規則に点滅するのを発見しました。
なぜLEDが点滅?
...
ひょっとして電流不足??

USB機器同士の干渉、とかでなく、実はもっと簡単に、デバイスの消費電力が多すぎる部分があって全体的に不安定になっているのでは?という気がしていました。
PCから外部電源ありの4ポートのHUBに接続、さらにモニターのバスパワーHUBを接続し、そのツリーの中にバスパワーの機器がたくさんある...バスパワーのHUB自体も電力消費するし。
また、iPhoneは充電時に800mA程度食う場合もあるようで、そうするとUSBバスパワーの上限1ポート500mAを超えてしまっているし。

そこで、多段のHUB接続を止めて、iPhone自体はPCに直結、にしたところ、アラートは出なくなり動作が安定しました。
電流容量問題だとすると、USBカードを増設したら改善した、というのも、同じ理屈で解決しうる話です。

相性とかの場合もあるかもしれませんが、USB機器、特に電力を比較的食うようなデバイスを複数接続している場合は、HUBの電源供給があるから、と安心しきらずに、電力の分散を検討されるのも良いかと思います。